4) Решите неравенство: \(\log_{5}(x+1)+\log_{5}(11-x)\leq 2\).

Область определения: \(x+1>0\) и \(11-x>0\), то есть \(-1<x<11\).

Объединяем логарифмы: \(\log_{5}((x+1)(11-x))\leq 2=\log_{5}25\). Основание 5 больше 1, поэтому \((x+1)(11-x)\leq 25\).

Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону:

\(-x^{2}+10x+11\leq 25\iff x^{2}-10x+14\geq 0\).

Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(x=5\pm\sqrt{11}\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при \(x\leq 5-\sqrt{11}\) или \(x\geq 5+\sqrt{11}\).

Пересекаем с областью определения \((-1;11)\).

Ответ: \(x\in(-1;5-\sqrt{11}]\cup[5+\sqrt{11};11)\).