4. Решите систему методом Крамера: x + y = 3, y + z = 5, x + z = 4.

Главный определитель системы:

\(\Delta=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=2\ne0\), поэтому система имеет единственное решение.

Заменяем соответствующие столбцы столбцом свободных членов \((3,5,4)\):

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}3&1&0\\5&1&1\\4&0&1\end{vmatrix}=2\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}1&3&0\\0&5&1\\1&4&1\end{vmatrix}=4\), \(\Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&3\\0&1&5\\1&0&4\end{vmatrix}=6\).

По формулам Крамера: \(x=\Delta_x/\Delta=1\), \(y=\Delta_y/\Delta=2\), \(z=\Delta_z/\Delta=3\).

Ответ: \(x=1,\ y=2,\ z=3\).