6. Даны A(1; −2), B(4; 2), C(−1; 3). Найдите AB; каноническое и общее уравнения прямой AB, параллельную ей прямую через C, d(C, AB).

Вектор направляющий прямую AB:

\(\overrightarrow{AB}=(4-1;\,2-(-2))=(3;4)\).

Каноническое уравнение прямой AB, проходящей через A с направляющим вектором \((3;4)\): \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{4}\). Умножая крест-накрест, получаем общее уравнение \(4(x-1)=3(y+2)\), то есть \(4x-3y-10=0\).

Параллельная прямая имеет те же коэффициенты при x и y. Подставляем точку C(−1; 3): \(4x-3y+c=0\), \(4(-1)-3\cdot3+c=0\), откуда \(c=13\). Значит, её уравнение: \(4x-3y+13=0\).

Расстояние от C до AB: \(d(C,AB)=\frac{|4(-1)-3\cdot3-10|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{23}{5}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\); каноническое уравнение \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{4}\); общее уравнение AB: \(4x-3y-10=0\); параллельная через C: \(4x-3y+13=0\); \(d(C,AB)=\frac{23}{5}\).