4. Решите систему уравнений: { 7x² - 5x = y, 7x - 5 = y.

Задание 4. Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 7x^2 - 5x = y \ 7x - 5 = y
\end{cases} \]

Так как оба уравнения равны \( y \), мы можем приравнять левые части уравнений:

\[ 7x^2 - 5x = 7x - 5 \]

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0 \]

\[ 7x^2 - 12x + 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем уравнении:

• \( a = 7 \)
• \( b = -12 \)
• \( c = 5 \)

\[ D = (-12)^2 - 4 · 7 · 5 \]

\[ D = 144 - 140 \]

\[ D = 4 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня для \( x \). Формула корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} \).

Найдем первый корень \( x_1 \):

\[ x_1 = \frac{-(-12) + √{4}}{2 · 7} = \frac{12 + 2}{14} = \frac{14}{14} = 1 \]

Найдем второй корень \( x_2 \):

\[ x_2 = \frac{-(-12) - √{4}}{2 · 7} = \frac{12 - 2}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из исходных уравнений (проще во второе: \( y = 7x - 5 \)).

Для \( x_1 = 1 \):

\[ y_1 = 7(1) - 5 = 7 - 5 = 2 \]

Для \( x_2 = \frac{5}{7} \):

\[ y_2 = 7·\frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0 \]

Таким образом, система имеет два решения:

• \( (1; 2) \)
• \( (\frac{5}{7}; 0) \)

Ответ: Решениями системы являются пары чисел \( (1; 2) \) и \( (\frac{5}{7}; 0) \).