5. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Задание 5. Задача на движение

Дано:

• Общее расстояние: \( S = 240 \) км.
• Скорость первого автомобиля больше скорости второго на 20 км/ч.
• Время первого автомобиля на 1 час меньше времени второго.

Найти: скорость первого автомобиля.

Решение:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч).
• \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).
• \( t_1 \) — время первого автомобиля (ч).
• \( t_2 \) — время второго автомобиля (ч).

Из условия задачи мы знаем:

1. \( v_1 = v_2 + 20 \)
2. \( t_1 = t_2 - 1 \)

Также мы знаем формулу расстояния: \( S = v · t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

Подставим это в наши уравнения:

1. \( \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_2} - 1 \)

2. \( v_2 = v_1 - 20 \)

Теперь подставим второе уравнение в первое:

\[ \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_1 - 20} - 1 \]

Приведем к общему знаменателю. Для начала, перенесем \( \frac{240}{v_1} \) вправо, а \( -1 \) влево:

\[ 1 = \frac{240}{v_1 - 20} - \frac{240}{v_1} \]

Приведем правую часть к общему знаменателю \( v_1(v_1 - 20) \):

\[ 1 = \frac{240 · v_1 - 240 · (v_1 - 20)}{v_1(v_1 - 20)} \]

\[ 1 = \frac{240v_1 - 240v_1 + 4800}{v_1^2 - 20v_1} \]

\[ 1 = \frac{4800}{v_1^2 - 20v_1} \]

Теперь умножим обе части на \( v_1^2 - 20v_1 \):

\[ v_1^2 - 20v_1 = 4800 \]

Перенесем 4800 влево, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_1^2 - 20v_1 - 4800 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \( a = 1, b = -20, c = -4800 \).

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 · 1 · (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \]

\[ √{D} = √{19600} = 140 \]

Найдем корни \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{-(-20) ± 140}{2 · 1} \]

Два возможных значения для \( v_1 \):

\[ v_{1,1} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80 \]

\[ v_{1,2} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_1 = 80 \) км/ч.

Проверим:

• Скорость первого автомобиля: \( v_1 = 80 \) км/ч.
• Скорость второго автомобиля: \( v_2 = v_1 - 20 = 80 - 20 = 60 \) км/ч.
• Время первого: \( t_1 = \frac{240}{80} = 3 \) часа.
• Время второго: \( t_2 = \frac{240}{60} = 4 \) часа.

Разница во времени \( t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1 \) час. Все условия соблюдены.

Ответ: Скорость первого автомобиля составляет 80 км/ч.