4) Решите системы: а) {3^x + 3^y = 12; x + y = 3}; б) {2^x·3^y − 24 = 0; 2^y·3^x − 54 = 0}.

а) Обозначим u = 3^x, v = 3^y. Из x + y = 3 следует uv = 3^x+y = 27. Поэтому u и v — корни уравнения t² − 12t + 27 = 0, то есть 9 и 3. Следовательно, (x, y) = (2, 1) или (1, 2).

б) Запишем систему как 2^x·3^y = 24 и 2^y·3^x = 54. Деление первого равенства на второе даёт (2/3)^x−y = 4/9 = (2/3)², значит x − y = 2. Перемножив равенства, получим 6^x+y = 1296 = 6⁴, значит x + y = 4. Решая систему x − y = 2, x + y = 4, получаем x = 3, y = 1.

Ответ: а) (2; 1), (1; 2); б) (3; 1).