5) Решите уравнения: а) 9^x+1 − 3·3^x+3 − 27·3^x−2 + 27 = 0; б) (0,1)^x+1 − 0,01 = 0,02; в) 4·9^x+1 − 12^x − 3·16^x = 0; г) 4^{√(9−x²)+1} + 2 = 9·2^√(9−x²).

а) Пусть t = 3^x, t > 0. Тогда уравнение принимает вид 9t² − 81t − 3t + 27 = 0, то есть 3t² − 28t + 9 = 0. Корни: t = 9 и t = 1/3. Поэтому x = 2 или x = −1.

б) Перенесём 0,01: (0,1)^x+1 = 0,03. Так как 0,1 = 10⁻¹ и 0,03 = 3/100, получаем x = log_0,1(0,03) − 1 = log₁₀(10/3) ≈ 0,523.

в) Разделим уравнение на 16^x > 0 и положим r = (3/4)^x. Получим 36r² − r − 3 = 0. Положительный корень этого уравнения равен (1 + √433)/72; отрицательный корень не подходит, поскольку r > 0. Следовательно, x = log_3/4((1 + √433)/72).

г) Область допустимых значений: −3 ≤ x ≤ 3. Обозначим t = 2^√(9−x²); тогда t ≥ 1 и 4^{√(9−x²)+1} = 4t². Уравнение становится 4t² − 9t + 2 = 0, откуда t = 2 или t = 1/4. Условию t ≥ 1 удовлетворяет только t = 2. Поэтому √(9 − x²) = 1, откуда x = ±2√2.

Ответ: а) −1; 2; б) log₁₀(10/3) ≈ 0,523; в) log_3/4((1 + √433)/72); г) −2√2; 2√2.