4. Решите уравнение: 1) \( x^4 - 24x^2 - 25 = 0 \)

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 24y - 25 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант \( D = (-24)^2 - 4 €ƒ 1 €ƒ (-25) = 576 + 100 = 676 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \).

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

\( y_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \).

Случай 1: \( x^2 = y_1 = 25 \). Отсюда \( x = €ƒ \sqrt{25} \), то есть \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -5 \).

Случай 2: \( x^2 = y_2 = -1 \). Так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: \( x = 5 \), \( x = -5 \).