5. Докажите тождество: \(\frac{a^2 - 25}{a^2 - 10a + 25} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = \frac{a + 5}{a} \)

Решение:

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть и сравним её с правой.

Левая часть: \(\frac{a^2 - 25}{a^2 - 10a + 25} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2}\)

Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: \( a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) \).

Знаменатель первой дроби — полный квадрат: \( a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 \).

Теперь выражение в левой части выглядит так:

\(\frac{(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)^2} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2}\)

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\(\frac{(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)^2} €ƒ \frac{(a - 5)^2}{a - 20}\)

Сократим \( (a - 5)^2 \) в числителе и знаменателе:

\(\frac{(a - 5)(a + 5)}{1} €ƒ \frac{1}{a - 20}\)

\(\frac{(a - 5)(a + 5)}{a - 20}\)

Итоговое выражение: \(\frac{a^2 - 25}{a - 20}\).

Правая часть выражения: \(\frac{a + 5}{a}\).

Полученные выражения \(\frac{a^2 - 25}{a - 20}\) и \(\frac{a + 5}{a}\) не равны.

Проверим условие задания.

Возможно, в правой части тождества есть ошибка. Если правая часть должна быть \(\frac{a^2 - 25}{a - 20}\), то тождество доказано.

Если же правая часть верна \(\frac{a + 5}{a}\), то левая часть не равна ей.

Проверим еще раз преобразование левой части:

\(\frac{a^2 - 25}{a^2 - 10a + 25} €ƒ \frac{(a - 5)^2}{a - 20}\)

\(\frac{(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)^2} €ƒ \frac{(a - 5)^2}{a - 20}\)

После сокращения \( (a-5)^2 \):

\((a+5) €ƒ \frac{1}{a - 20} = \frac{a+5}{a-20}\).

Похоже, в условии задачи опечатка. Левая часть равна \(\frac{a+5}{a-20}\), а правая часть дана как \(\frac{a+5}{a}\). Эти выражения не равны.

Ответ: Тождество не выполняется, так как левая часть равна \(\frac{a+5}{a-20}\), а правая часть равна \(\frac{a+5}{a}\).