4. Решите уравнение: a) (1/81)⁰,⁵ˣ⁻¹ = 9; б) log₇ (4x + 5) = 2; в) (log₁/₄ x)² - 2log₁/₄ x = 8; г) √8 - x² = √-7x; д) 2sin x - 1 = 0.

Решение:

а) \( \left( \frac{1}{81} \right)^{0,5x-1} = 9 \)

1. Представим числа в виде степеней тройки: \( \left( (3^{-4}) \right)^{0,5x-1} = 3^2 \).
2. \( 3^{-4(0,5x-1)} = 3^2 \).
3. Приравниваем показатели степеней: \( -4(0,5x-1) = 2 \).
4. \( -2x + 4 = 2 \).
5. \( -2x = -2 \).
6. \( x = 1 \).

б) \( \log_7 (4x + 5) = 2 \)

1. По определению логарифма: \( 4x + 5 = 7^2 \).
2. \( 4x + 5 = 49 \).
3. \( 4x = 44 \).
4. \( x = 11 \).
5. Проверка ОДЗ: \( 4(11) + 5 = 44 + 5 = 49 > 0 \). Условие выполнено.

в) \( (\log_{1/4} x)^2 - 2\log_{1/4} x = 8 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_{1/4} x \).
2. Получаем квадратное уравнение: \( y^2 - 2y - 8 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).
4. Корни: \( y_1 = (2 + \sqrt{36}) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4 \) и \( y_2 = (2 - \sqrt{36}) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2 \).
5. Возвращаемся к переменной \( x \):
6. 1) \( \log_{1/4} x = 4 \implies x = (1/4)^4 = 1/256 \).
7. 2) \( \log_{1/4} x = -2 \implies x = (1/4)^{-2} = 4^2 = 16 \).
8. Проверка ОДЗ: \( x > 0 \). Оба значения подходят.

г) \( \sqrt{8 - x^2} = \sqrt{-7x} \)

1. Возведём обе части в квадрат: \( 8 - x^2 = -7x \).
2. Перенесём всё в одну часть: \( x^2 - 7x - 8 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 \).
4. Корни: \( x_1 = (7 + \sqrt{81}) / 2 = (7 + 9) / 2 = 8 \) и \( x_2 = (7 - \sqrt{81}) / 2 = (7 - 9) / 2 = -1 \).
5. Проверим ОДЗ: \( 8 - x^2 ³ 0 \) и \( -7x ³ 0 \).
6. Для \( x = 8 \): \( 8 - 8^2 = 8 - 64 = -56 \), что меньше 0. Не подходит.
7. Для \( x = -1 \): \( 8 - (-1)^2 = 8 - 1 = 7 ³ 0 \). \( -7(-1) = 7 ³ 0 \). Подходит.

д) \( 2 \sin x - 1 = 0 \)

1. \( 2 \sin x = 1 \).
2. \( \sin x = 1/2 \).
3. Общее решение: \( x = (-1)^n · \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in Z \).

Ответ: а) 1; б) 11; в) 1/256; 16; г) -1; д) \( x = (-1)^n · \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z \).