5. Решите неравенство: a) log₃ (3 - x) > log₃ (12 - 3x); б) (1/6)ˣ⁻¹ + (1/6)ˣ⁺¹ ≤ 37; в) (x+1)(x-4) / x²-x-12 > 0.

Решение:

а) \( \log_3 (3 - x) > \log_3 (12 - 3x) \)

1. ОДЗ: \( 3 - x > 0 \) \( \implies x < 3 \) и \( 12 - 3x > 0 \) \( \implies 3x < 12 \) \( \implies x < 4 \).
2. Объединяя условия, получаем \( x < 3 \).
3. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), переходим к сравнению аргументов: \( 3 - x > 12 - 3x \).
4. \( 3x - x > 12 - 3 \).
5. \( 2x > 9 \).
6. \( x > 4,5 \).
7. Нет решений, удовлетворяющих одновременно \( x < 3 \) и \( x > 4,5 \).

б) \( \left( \frac{1}{6} \right)^{x-1} + \left( \frac{1}{6} \right)^{x+1} ≤ 37 \)

1. Перепишем: \( \left( \frac{1}{6} \right)^x · \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} + \left( \frac{1}{6} \right)^x · \left( \frac{1}{6} \right)^1 ≤ 37 \).
2. \( 6 · \left( \frac{1}{6} \right)^x + \frac{1}{6} · \left( \frac{1}{6} \right)^x ≤ 37 \).
3. Пусть \( y = \left( \frac{1}{6} \right)^x \). Тогда \( 6y + · · · · · y = 37 \).
4. \( (6 + 1/6)y ≤ 37 \).
5. \( (36/6 + 1/6)y ≤ 37 \).
6. \( (37/6)y ≤ 37 \).
7. \( y ≤ 37 · 6/37 \).
8. \( y ≤ 6 \).
9. Возвращаемся к \( x \): \( \left( \frac{1}{6} \right)^x ≤ 6 \).
10. \( 6^{-x} ≤ 6^1 \).
11. Так как основание \( 6 > 1 \), переходим к сравнению показателей: \( -x ≤ 1 \).
12. \( x ³ -1 \).

в) \( \frac{(x+1)(x-4)}{x^2-x-12} > 0 \)

1. Разложим знаменатель на множители: \( x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3) \).
2. Неравенство принимает вид: \( \frac{(x+1)(x-4)}{(x-4)(x+3)} > 0 \).
3. Сократим \( (x-4) \), при условии \( x ≠ 4 \).
4. \( \frac{x+1}{x+3} > 0 \).
5. Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: \( x = -1 \) и \( x = -3 \).
6. Разбиваем числовую прямую на интервалы: \( (-∞, -3) \), \( (-3, -1) \), \( (-1, ∞) \).
7. Проверим знаки:
8. На \( (-∞, -3) \): \( (-)/(-) = + \).
9. На \( (-3, -1) \): \( (-)/(+) = - \).
10. На \( (-1, ∞) \): \( (+)/(+) = + \).
11. Нам нужен интервал, где выражение больше 0.
12. Решение: \( x ∈ (-∞, -3) ∪ (-1, ∞) \).
13. Также учитываем, что \( x ≠ 4 \). Так как \( 4 \) входит во второй интервал \( (-1, ∞) \), то его нужно исключить.
14. Итоговое решение: \( x ∈ (-∞, -3) ∪ (-1, 4) ∪ (4, ∞) \).

Ответ: а) решений нет; б) \( x ³ -1 \); в) \( x ∈ (-∞, -3) ∪ (-1, 4) ∪ (4, ∞) \).