4. Решите уравнение: а) \(4\cos^2x+4\sin x-1=0\).

Преобразуем уравнение, используя \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\(4(1-\sin^2x)+4\sin x-1=0\),
\(-4\sin^2x+4\sin x+3=0\),
\(4\sin^2x-4\sin x-3=0\).

Пусть \(t=\sin x\). Тогда \(4t^2-4t-3=0\), откуда \(t=\frac32\) или \(t=-\frac12\). Значение \(\frac32\) невозможно, поскольку \(|\sin x|\leq1\).

Следовательно, \(\sin x=-\frac12\), поэтому

\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).