4. Решите уравнение: а) \(\dfrac{10y}{9y^2-4}+\dfrac{y-5}{3y+2}=\dfrac{y-3}{2-3y}\); б) \((x^2+5x+6)(x^2+5x+4)=840\).

а) Ограничения: \(y\ne\dfrac{2}{3}\) и \(y\ne-\dfrac{2}{3}\). Умножим уравнение на \((3y-2)(3y+2)\), учитывая, что \(2-3y=-(3y-2)\):

\(10y+(y-5)(3y-2)=-(y-3)(3y+2).\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(3y^2-7y+10=-3y^2+7y+6,\)

\(3y^2-7y+2=0,\)

\((3y-1)(y-2)=0.\)

Получаем \(y=\dfrac13\) или \(y=2\); оба значения удовлетворяют ограничениям.

б) Обозначим \(t=x^2+5x\). Тогда

\((t+6)(t+4)=840,\)

\(t^2+10t-816=0.\)

Дискриминант равен \(3364=58^2\), поэтому \(t=24\) или \(t=-34\).

При \(t=24\): \(x^2+5x-24=0\), откуда \((x+8)(x-3)=0\), значит, \(x=-8\) или \(x=3\).

При \(t=-34\): \(x^2+5x+34=0\); дискриминант \(25-136=-111<0\), действительных корней нет.

Ответ: а) \(y=\dfrac13, 2\); б) \(x=-8, 3\).