4. Решите уравнение: а) $$\left(\frac{1}{125}\right)^{0,2x+1} = 25$$; б) $$\sqrt{x^2-6}=\sqrt{-5x}$$; в) $$\cos 2x + 5\sin x + 2 = 0$$.

Решение:

1. а) Решим показательное уравнение:
   \( \left(\frac{1}{125}\right)^{0,2x+1} = 25 \)
   \( \left(\frac{1}{5^3}\right)^{\frac{1}{5}x+1} = 5^2 \)
   \( \left(5^{-3}\right)^{\frac{1}{5}x+1} = 5^2 \)
   \( 5^{-3(\frac{1}{5}x+1)} = 5^2 \)
   Приравниваем показатели степеней:
   \( -3(\frac{1}{5}x+1) = 2 \)
   \( -\frac{3}{5}x - 3 = 2 \)
   \( -\frac{3}{5}x = 5 \)
   \( x = 5 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{25}{3} \)
2. б) Решим иррациональное уравнение:
   \( \sqrt{x^2-6} = \sqrt{-5x} \)
   Возведём обе части в квадрат:
   \( x^2 - 6 = -5x \)
   \( x^2 + 5x - 6 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета):
   \( x_1 + x_2 = -5 \)
   \( x_1 \cdot x_2 = -6 \)
   Корни: \( x_1 = 1, x_2 = -6 \).
   Проверим на допустимые значения (под корнем должно быть неотрицательное число):
   Для \( x = 1 \): \( 1^2 - 6 = -5 \) (не подходит, так как \( -5 < 0 \))
   Для \( x = -6 \): \( (-6)^2 - 6 = 36 - 6 = 30 \) и \( -5 \cdot (-6) = 30 \) (подходит).
3. в) Решим тригонометрическое уравнение:
   \( \cos 2x + 5\sin x + 2 = 0 \)
   Используем формулу двойного угла для косинуса: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
   \( 1 - 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0 \)
   \( -2\sin^2 x + 5\sin x + 3 = 0 \)
   Умножим на -1:
   \( 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 \)
   Сделаем замену: пусть \( t = \sin x \). Тогда \( -1 \le t \le 1 \).
   \( 2t^2 - 5t - 3 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение:
   \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
   \( t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \) (не подходит, так как \( t \le 1 \))
   \( t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5 \) (подходит)
   Возвращаемся к замене: \( \sin x = -0,5 \).
   \( x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) $$x = -\frac{25}{3}$$; б) $$x = -6$$; в) $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.