5. Решите неравенство: а) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x - (2)^{1-x} - 8 < 0$$ б) $$\frac{x^2+2x-3}{(x-7)(x+5)} < 0$$

Решение:

1. а) Решим показательное неравенство:
   \( \left(\frac{1}{4}\right)^x - (2)^{1-x} - 8 < 0 \)
   \( \left(\frac{1}{2^2}\right)^x - 2 \cdot 2^{-x} - 8 < 0 \)
   \( \frac{1}{2^{2x}} - \frac{2}{2^x} - 8 < 0 \)
   \( \frac{1}{(2^x)^2} - \frac{2}{2^x} - 8 < 0 \)
   Сделаем замену: пусть \( t = 2^x \). Тогда \( t > 0 \).
   \( \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t} - 8 < 0 \)
   Приведём к общему знаменателю:
   \( \frac{1 - 2t - 8t^2}{t^2} < 0 \)
   Так как \( t^2 > 0 \) (поскольку \( t > 0 \)), знак неравенства определяется числителем:
   \( 1 - 2t - 8t^2 < 0 \)
   \( 8t^2 + 2t - 1 > 0 \)
   Найдём корни квадратного трёхчлена \( 8t^2 + 2t - 1 = 0 \):
   \( D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \)
   \( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 + 6}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
   \( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 - 6}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \)
   Парабола \( 8t^2 + 2t - 1 \) ветвями вверх, поэтому \( 8t^2 + 2t - 1 > 0 \) при \( t < -\frac{1}{2} \) или \( t > \frac{1}{4} \).
   Учитывая условие \( t > 0 \), получаем \( t > \frac{1}{4} \).
   Возвращаемся к замене:
   \( 2^x > \frac{1}{4} \)
   \( 2^x > 2^{-2} \)
   \( x > -2 \)
2. б) Решим дробно-рациональное неравенство:
   \( \frac{x^2+2x-3}{(x-7)(x+5)} < 0 \)
   Разложим числитель на множители: \( x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) \).
   \( \frac{(x+3)(x-1)}{(x-7)(x+5)} < 0 \)
   Определим корни числителя и знаменателя:
   \( x = -3, x = 1 \) (нули числителя)
   \( x = 7, x = -5 \) (нули знаменателя)
   Отметим эти корни на числовой оси и определим знаки выражений в интервалах:
   
   1. \( x < -5 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = \frac{+}{+} = + \)
   2. \( -5 < x < -3 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)(+)} = \frac{+}{-} = - \)
   3. \( -3 < x < 1 \): \( \frac{(+)(-)}{(-)(+)} = \frac{-}{-} = + \)
   4. \( 1 < x < 7 \): \( \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = \frac{+}{-} = - \)
   5. \( x > 7 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} = + \)
   Нам нужно, где выражение меньше нуля.

Ответ: а) $$x > -2$$; б) $$x \in (-5; -3) \cup (1; 7)$$.