4. Решите уравнение: а) $\log_3^2 x-\log_3 x=2$; б) $\frac{2}{\lg x-3}+\frac{4}{\lg x+1}=1$; в) $\log_{0,5}^2 x-\log_2 x-6=0$; г) $\frac{1}{1-\log_5\frac{x}{25}}+\frac{2}{\log_5 5x-2}=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Решите уравнение: а) $\log_3^2 x-\log_3 x=2$; б) $\frac{2}{\lg x-3}+\frac{4}{\lg x+1}=1$; в) \(\log_{0,5}^2 x-\log_2…$ Фото задания

4. Решите уравнение: а) $\log_3^2 x-\log_3 x=2$; б) $\frac{2}{\lg x-3}+\frac{4}{\lg x+1}=1$; в) $\log_{0,5}^2 x-\log_2 x-6=0$; г) $\frac{1}{1-\log_5\frac{x}{25}}+\frac{2}{\log_5 5x-2}=3$.

Accepted Answer

а) Пусть $t=\log_3 x$, где $x>0$. Тогда $t^2-t=2$, то есть $(t-2)(t+1)=0$. Поэтому $t=2$ или $t=-1$, откуда $x=9$ или $x=1/3$.
б) Пусть $t=\lg x$, причём $t\ne3,-1$. Уравнение принимает вид $\frac{2}{t-3}+\frac{4}{t+1}=1$. Умножаем на $(t-3)(t+1)$: $2(t+1)+4(t-3)=(t-3)(t+1)$. Получаем $t^2-8t+7=0$, откуда $t=1$ или $t=7$. Следовательно, $x=10$ или $x=10^7$; оба значения допустимы.
в) Пусть $t=\log_2 x$. Так как $\log_{0.5}x=-t$, квадрат этого логарифма равен $t^2$. Тогда $t^2-t-6=0$, то есть $(t-3)(t+2)=0$. Получаем $x=2^3=8$ или $x=2^{-2}=1/4$.
г) Пусть $t=\log_5 x$. Тогда $1-\log_5(x/25)=3-t$, а $\log_5(5x)-2=t-1$. При $t\ne3,1$: $\frac1{3-t}+\frac2{t-1}=3$. После умножения на $(3-t)(t-1)$ получаем $3t^2-13t+14=0$, откуда $t=2$ или $t=7/3$. Оба значения допустимы, поэтому $x=25$ или $x=5^{7/3}$.

Ответ: а) $9;\frac13$; б) $10;10^7$; в) $8;\frac14$; г) $25;5^{7/3}$.

4. Решите уравнение: а) \(\log_3^2 x-\log_3 x=2\); б) \(\frac{2}{\lg x-3}+\frac{4}{\lg x+1}=1\); в) \(\log_{0,5}^2 x-\log_2 x-6=0\); г) \(\frac{1}{1-\log_5\frac{x}{25}}+\frac{2}{\log_5 5x-2}=3\).

Ответ: