Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Решите уравнение: а) \(\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1\); б) \(\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=1\); в) \(\lg(x-9)+\lg(2x-1)=2\); г)…Фото задания

Ответ:

  1. а) Область определения: \(x>-1\). Объединяем логарифмы: \(\log_3((x+1)(x+3))=1\), значит \((x+1)(x+3)=3\). Получаем \(x^2+4x=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-4\). Условию области определения удовлетворяет только \(x=0\).

  2. б) Область определения требует \(3x+4>0\), то есть \(x>-4/3\); выражение \(3x^2+12x+19\) положительно при всех \(x\). Объединяем логарифмы: \(\lg\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=1\), следовательно, \(3x^2+12x+19=10(3x+4)\). Получаем \(x^2-6x-7=0\), откуда \(x=7\) или \(x=-1\). Оба корня допустимы.

  3. в) Область определения: \(x>9\). Объединяем логарифмы: \((x-9)(2x-1)=100\). Тогда \(2x^2-19x-91=0\), откуда \(x=13\) или \(x=-7/2\). Условию \(x>9\) удовлетворяет только \(13\).

  4. г) Область определения требует \(x+1>0\) и \(x^2-x-3>0\). Объединяем логарифмы: \(\log_2\frac{x^2-x-3}{x+1}=3\), поэтому \(x^2-x-3=8(x+1)\). Получаем \(x^2-9x-11=0\), откуда \(x=\frac{9\pm5\sqrt5}{2}\). Корень \(\frac{9-5\sqrt5}{2}<-1\) не входит в область определения; второй корень допустим.

Ответ: а) 0; б) \(-1,7\); в) 13; г) \(\frac{9+5\sqrt5}{2}\).