4. Решите уравнение: а) x³ - 3x² - x + 3 = 0, б) (x - 1)(x² + 8x + 16) = 6(x + 4)

Решение:

а) \( x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 \)

1. Вынесем общий множитель за скобки: \( x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0 \).
2. Сгруппируем: \( (x^2 - 1)(x - 3) = 0 \).
3. Приравняем каждый множитель к нулю: \( x^2 - 1 = 0 \) или \( x - 3 = 0 \).
4. Из \( x^2 - 1 = 0 \) получаем \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = \pm 1 \).
5. Из \( x - 3 = 0 \) получаем \( x = 3 \).

б) \( (x - 1)(x^2 + 8x + 16) = 6(x + 4) \)

1. Заметим, что \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \).
2. Перепишем уравнение: \( (x - 1)(x + 4)^2 = 6(x + 4) \).
3. Перенесем все члены в одну сторону: \( (x - 1)(x + 4)^2 - 6(x + 4) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x + 4) \) за скобки: \( (x + 4) [ (x - 1)(x + 4) - 6 ] = 0 \).
5. Раскроем скобки во внутренней части: \( (x + 4) [ x^2 + 4x - x - 4 - 6 ] = 0 \).
6. Упростим: \( (x + 4) [ x^2 + 3x - 10 ] = 0 \).
7. Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \). Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \).
8. \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \).
9. \( x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
10. \( x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
11. Итак, у нас три возможных значения \( x \): \( x = -4 \), \( x = 2 \), \( x = -5 \).

Ответ: а) \( x = 1, x = -1, x = 3 \); б) \( x = -4, x = 2, x = -5 \).