4. Решите уравнение: а) x³ - 3x² - x + 3 = 0, б) (x-1)(x²+8x+16)=6(x+4).

Решение:

а) \( x³ - 3x² - x + 3 = 0 \)

Это кубическое уравнение. Попробуем разложить его на множители методом группировки:

\[ (x^3 - 3x^2) + (-x + 3) = 0 \]\[ x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0 \]\[ (x^2 - 1)(x - 3) = 0 \]

Шаг 1: Приравняем каждый множитель к нулю.

Если \( x^2 - 1 = 0 \), то \( x^2 = 1 \), откуда \( x = \pm 1 \).

Если \( x - 3 = 0 \), то \( x = 3 \).

б) \( (x-1)(x²+8x+16)=6(x+4) \)

Заметим, что \( x²+8x+16 = (x+4)² \). Подставим это в уравнение:

\[ (x-1)(x+4)² = 6(x+4) \]

Шаг 1: Перенесём все члены в левую часть.

\[ (x-1)(x+4)² - 6(x+4) = 0 \]

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (x+4) \) за скобки.

\[ (x+4) [(x-1)(x+4) - 6] = 0 \]

Шаг 3: Раскроем скобки во второй части и приведём подобные.

\[ (x+4) [x^2 + 4x - x - 4 - 6] = 0 \]\[ (x+4) [x^2 + 3x - 10] = 0 \]

Шаг 4: Приравняем каждый множитель к нулю.

Если \( x+4 = 0 \), то \( x = -4 \).

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \). Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). Корни:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]\[ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Ответ: а) \( x = -1, x = 1, x = 3 \); б) \( x = -4, x = 2, x = -5 \).