5. Решите задачу: Имеется два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Обозначения:

• Пусть \( m_1 = 24 \) кг — масса первого раствора.
• Пусть \( m_2 = 26 \) кг — масса второго раствора.
• Пусть \( w_1 \) — концентрация кислоты в первом растворе (в долях).
• Пусть \( w_2 \) — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Шаг 1: Составим уравнение для первого случая (сливание всех растворов).

Общая масса слитых растворов: \( m_{общ1} = m_1 + m_2 = 24 + 26 = 50 \) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \( K_1 = m_1 w_1 = 24w_1 \).

Масса кислоты во втором растворе: \( K_2 = m_2 w_2 = 26w_2 \).

Общая масса кислоты: \( K_{общ1} = K_1 + K_2 = 24w_1 + 26w_2 \).

Концентрация полученного раствора: \( 39\% = 0.39 \).

Уравнение: \( \frac{K_{общ1}}{m_{общ1}} = 0.39 \) \( \Rightarrow \frac{24w_1 + 26w_2}{50} = 0.39 \) \( \Rightarrow 24w_1 + 26w_2 = 50 \cdot 0.39 \) \( \Rightarrow 24w_1 + 26w_2 = 19.5 \).

Шаг 2: Составим уравнение для второго случая (сливание равных масс).

Пусть \( m \) — масса, взятая из каждого раствора. Общая масса слитых растворов: \( m_{общ2} = m + m = 2m \).

Масса кислоты из первого раствора: \( K'_1 = m w_1 \).

Масса кислоты из второго раствора: \( K'_2 = m w_2 \).

Общая масса кислоты: \( K_{общ2} = m w_1 + m w_2 = m(w_1 + w_2) \).

Концентрация полученного раствора: \( 40\% = 0.40 \).

Уравнение: \( \frac{K_{общ2}}{m_{общ2}} = 0.40 \) \( \Rightarrow \frac{m(w_1 + w_2)}{2m} = 0.40 \) \( \Rightarrow \frac{w_1 + w_2}{2} = 0.40 \) \( \Rightarrow w_1 + w_2 = 0.80 \).

Шаг 3: Решим систему уравнений для \( w_1 \) и \( w_2 \).

Из второго уравнения выразим \( w_2 \): \( w_2 = 0.80 - w_1 \).

Подставим в первое уравнение:

\[ 24w_1 + 26(0.80 - w_1) = 19.5 \]\[ 24w_1 + 20.8 - 26w_1 = 19.5 \]\[ -2w_1 = 19.5 - 20.8 \]\[ -2w_1 = -1.3 \]\[ w_1 = \frac{-1.3}{-2} = 0.65 \]

Шаг 4: Найдём массу кислоты в первом растворе.

Масса кислоты в первом растворе: \( K_1 = m_1 w_1 = 24 \text{ кг} \cdot 0.65 \).

\[ K_1 = 24 \cdot 0.65 = 15.6 \text{ кг} \]

Шаг 5: (Проверка, необязательно) Найдём \( w_2 \) и массу кислоты во втором растворе.

\( w_2 = 0.80 - w_1 = 0.80 - 0.65 = 0.15 \).

Масса кислоты во втором растворе: \( K_2 = m_2 w_2 = 26 \text{ кг} \cdot 0.15 = 3.9 \text{ кг} \).

Суммарная масса кислоты: \( 15.6 + 3.9 = 19.5 \) кг. Общая масса: \( 24 + 26 = 50 \) кг. Концентрация: \( \frac{19.5}{50} = 0.39 = 39\% \).

Ответ: В первом растворе содержится 15,6 килограммов кислоты.