4. Решите уравнение lg(2x-3) = lg(x+1)

Решение:

Для решения логарифмических уравнений необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \( 2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1.5 \)
2. \( x + 1 > 0 \implies x > -1 \)

Объединяя условия, получаем \( x > 1.5 \).

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

\( 2x - 3 = x + 1 \).

Решаем полученное линейное уравнение:

\( 2x - x = 1 + 3 \).

\( x = 4 \).

Проверяем, удовлетворяет ли полученное значение \( x=4 \) ОДЗ \( x > 1.5 \). Да, удовлетворяет.

Ответ: \( x = 4 \).