4. Решите уравнение: ⁲⁷₂₅ + ⁳⁹³¹₅ / x² - 25 = 0.

Решение:

Для решения уравнения ⁲⁷₂₅ + ⁳⁹³¹₅ / x² - 25 = 0, выполним следующие шаги:

1. Приведем знаменатели к общему знаменателю. Заметим, что x² - 25 = (x - 5)(x + 5).
   Общий знаменатель равен (x - 5)(x + 5) = x² - 25.
2. Умножим числитель первой дроби на (x + 5):
   ⁲⁷₂₅ ⋅ (x + 5) / (x - 5) ⋅ (x + 5) + (3x + 15) / (x² - 25) = 0
   x(x + 5) / (x² - 25) + (3x + 15) / (x² - 25) = 0
3. Сложим числители, так как знаменатели одинаковы:
   (x² + 5x + 3x + 15) / (x² - 25) = 0
   (x² + 8x + 15) / (x² - 25) = 0
4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   x² + 8x + 15 = 0
   x² - 25 ≠ 0
5. Решим квадратное уравнение x² + 8x + 15 = 0.
   Найдем дискриминант: D = 8² - 4 ⋅ 1 ⋅ 15 = 64 - 60 = 4.
   x₁ = (-8 + √4) / 2 = (-8 + 2) / 2 = -6 / 2 = -3.
   x₂ = (-8 - √4) / 2 = (-8 - 2) / 2 = -10 / 2 = -5.
6. Проверим условие x² - 25 ≠ 0.
   Если x = -3, то (-3)² - 25 = 9 - 25 = -16 ≠ 0. Это подходит.
   Если x = -5, то (-5)² - 25 = 25 - 25 = 0. Это не подходит, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: x = -3