4. Решите уравнение (x − 4)(4 + x) = (x − 3)² − 7.

Задание 4. Решение уравнения

Для решения уравнения раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и найдем значение переменной \( x \).

Дано:

• Уравнение: \( (x - 4)(4 + x) = (x - 3)^2 - 7 \)

Найти: значение \( x \).

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
   \( (x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 \)
2. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
   \( (x - 3)^2 = x^2 - 2 \u00B7 x \u00B7 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \)
3. Подставим раскрытые скобки обратно в уравнение:
   \( x^2 - 16 = (x^2 - 6x + 9) - 7 \)
4. Упростим правую часть:
   \( x^2 - 16 = x^2 - 6x + 2 \)
5. Перенесем все члены с \( x \) в левую часть, а константы — в правую. Обратите внимание, что \( x^2 \) в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:
   \( x^2 - x^2 + 6x = 2 + 16 \)
   \( 6x = 18 \)
6. Найдем \( x \), разделив обе части на 6:
   \( x = \frac{18}{6} \)
   \( x = 3 \)

Ответ: 3.