5. Разложите на множители: x³ - 8y³ + 2x²y − 4xy².

Задание 5. Разложение на множители

Для разложения многочлена на множители сгруппируем члены и применим формулы сокращенного умножения.

Дано:

• Многочлен: \( x^3 - 8y^3 + 2x^2y - 4xy^2 \)

Найти: разложение многочлена на множители.

Решение:

1. Сначала перегруппируем члены многочлена так, чтобы можно было применить формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) и вынести общий множитель:
   \( (x^3 - 8y^3) + (2x^2y - 4xy^2) \)
2. Применим формулу разности кубов к первой группе \( x^3 - 8y^3 \), где \( a=x \) и \( b=2y \):
   \( x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x \u00B7 2y + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \)
3. Вынесем общий множитель \( 2xy \) из второй группы \( 2x^2y - 4xy^2 \):
   \( 2x^2y - 4xy^2 = 2xy(x - 2y) \)
4. Теперь подставим полученные выражения обратно в многочлен:
   \( (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy(x - 2y) \)
5. Мы видим, что \( (x - 2y) \) является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:
   \( (x - 2y) [(x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy] \)
6. Упростим выражение во вторых скобках, приведя подобные слагаемые:
   \( x^2 + 2xy + 4y^2 + 2xy = x^2 + 4xy + 4y^2 \)
7. Заметим, что полученное выражение \( x^2 + 4xy + 4y^2 \) является полным квадратом суммы \( (x + 2y)^2 \):
   \( x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2 \)
8. Таким образом, полное разложение многочлена будет:
   \( (x - 2y)(x + 2y)^2 \)

Ответ: \( (x - 2y)(x + 2y)^2 \).