4. Решите уравнения: а) 7^(sin² x) = √7; б) √(x/(x − 1)) − 3√((x − 1)/x) = 1/2.

1. а) Так как \(\sqrt7=7^{1/2}\), а основание 7 больше 1, получаем \(\sin^2 x=\frac12\). Тогда \(\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

2. б) Область определения: \(\frac{x}{x-1}>0\), то есть \(x<0\) или \(x>1\). Обозначим \(t=\sqrt{\frac{x}{x-1}}\), где \(t>0\). Тогда \(\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\frac1t\), и уравнение принимает вид \(t-\frac3t=\frac12\). Умножаем на \(2t\): \(2t^2-t-6=0\), откуда \(t=2\) или \(t=-\frac32\). Учитывая \(t>0\), оставляем \(t=2\). Тогда \(\frac{x}{x-1}=4\), значит \(x=\frac43\); это значение входит в область определения.

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb Z\); б) \(x=\frac43\).