4. Решите уравнения: а) $\left(\frac1{27}\right)^{0.5x-1}=9$; б) $\log_7(2x+5)=2$; в) $(\log_{\frac12}x)^2-\log_{\frac12}x=6$; г) $\sqrt{7-x^2}=\sqrt{-6x}$; д) $2\sin x-1=0$. Укажите наибольший отрицательный корень в градусах.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Решите уравнения: а) $\left(\frac1{27}\right)^{0.5x-1}=9$; б) $\log_7(2x+5)=2$; в)…$ Фото задания

4. Решите уравнения: а) $\left(\frac1{27}\right)^{0.5x-1}=9$; б) $\log_7(2x+5)=2$; в) $(\log_{\frac12}x)^2-\log_{\frac12}x=6$; г) $\sqrt{7-x^2}=\sqrt{-6x}$; д) $2\sin x-1=0$. Укажите наибольший отрицательный корень в градусах.

Accepted Answer

а) $\frac1{27}=3^{-3}$, $9=3^2$. Поэтому $-3(0.5x-1)=2$, откуда $-1.5x+3=2$, $x=\frac23$.

б) $2x+5=7^2=49$, поэтому $x=22$.

в) Обозначим $t=\log_{\frac12}x$. Тогда $t^2-t=6$, то есть $(t-3)(t+2)=0$. Получаем $t=3$ или $t=-2$. Следовательно, $x=\left(\frac12\right)^3=\frac18$ или $x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$.

г) Область допустимых значений: $7-x^2\ge0$ и $-6x\ge0$. Возводим в квадрат: $7-x^2=-6x$, поэтому $x^2-6x-7=0$. Корни: $x=7$ и $x=-1$. ОДЗ удовлетворяет только $x=-1$.

д) $2\sin x-1=0$, поэтому $\sin x=\frac12$. Общий вид решений: $x=30^\circ+360^\circ k$ или $x=150^\circ+360^\circ k$, $k\in\mathbb Z$. Наибольший отрицательный корень: $-210^\circ$.

Ответ: а) $\frac23$; б) $22$; в) $\frac18,4$; г) $-1$; д) $-210^\circ$.