4. Решите задачи. а) В треугольнике ABC BC = 9√3 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°. Найдите сторону AC. б) В треугольнике ABC AB = 18 см, BC = 8 см. Может ли sin A быть равным 1/2? Обоснуйте ответ.

а) По теореме синусов, поскольку сторона BC лежит напротив угла A, а AC — напротив угла B:

\(\frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{9\sqrt3}{\sin60^\circ}\).

Тогда \(AC=9\sqrt3\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=9\sqrt3\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}=9\sqrt2\) см.

б) Обозначим \(a=BC=8\) см и \(c=AB=18\) см. Если \(\sin A=\frac12\), то по теореме синусов \(\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{18\cdot\frac12}{8}=\frac98\). Но синус угла не может быть больше 1. Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: а) \(AC=9\sqrt2\) см; б) нет, не может.