4. Рис. 162. ABCD — трапеция. Найти: BC. На рисунке AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°, ∠BCD = 90°.

Так как BC ∥ AD, углы BAD и ABC — односторонние, поэтому ∠BAD = 180° − 135° = 45°.

В треугольнике BCD ∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°. Тогда ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 135° − 45° = 90°.

Треугольник ABD прямоугольный, а ∠BAD = 45°, значит, он равнобедренный: AB = BD. При AD = 30 его катеты равны 15√2.

Треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, поэтому BC = BD/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.