4. Рис. 775. Дано: ΔABC - равносторонний, OK = 3 см. Найти: AB.

Анализ: На рисунке 775 изображен равносторонний треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. OK — это расстояние от центра окружности до стороны AC. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, а также с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Решение:

1. Свойства равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны (AB = BC = AC), все углы равны 60°.
2. Центр окружности: Точка O — центр описанной окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной и вписанной окружности совпадает.
3. Высота/Медиана/Биссектриса: OK — это перпендикуляр, опущенный из центра O на сторону AC. Поскольку O является центром вписанной окружности, OK — это радиус вписанной окружности (r).
4. Связь радиусов: В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности (R) и радиус вписанной окружности (r) связаны соотношением R = 2r.
5. Точка O: Точка O делит высоту (которая также является медианой и биссектрисой) в отношении 2:1, считая от вершины. То есть, если BD — высота, то BO = 2 * OD. OD — это радиус вписанной окружности (r), а BO — радиус описанной окружности (R).
6. Дано: OK = r = 3 см.
7. Нахождение R: R = 2 * r = 2 * 3 = 6 см.
8. Высота треугольника: Высота BD = BO + OD = R + r = 6 + 3 = 9 см.
9. Формула высоты равностороннего треугольника: h = (a√3) / 2, где 'a' — длина стороны.
10. Подстановка и решение: 9 = (AB * √3) / 2.
11. Выражение AB: AB = (9 * 2) / √3 = 18 / √3.
12. Избавление от иррациональности: AB = (18 * √3) / (√3 * √3) = 18√3 / 3 = 6√3 см.

Ответ: AB = 6√3 см.