4. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \( \frac{24}{25} \). Диаметр описанной около него окружности равен 50. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Обозначим диагональ как \( d \). Тогда \( d = 50 \).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). По условию, \( \sin \alpha = \frac{24}{25} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \) и \( b \) и диагональю \( d \):

• \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \)
• \( \cos \alpha = \frac{a}{d} \)

Так как \( \sin \alpha = \frac{24}{25} \), то \( \frac{b}{50} = \frac{24}{25} \). Отсюда \( b = 50 \cdot \frac{24}{25} = 2 \cdot 24 = 48 \).

Найдем \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} \).

Так как \( \alpha \) — острый угол (в прямоугольном треугольнике), то \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25} \).

Теперь найдем сторону \( a \): \( \cos \alpha = \frac{a}{d} \) => \( \frac{7}{25} = \frac{a}{50} \). Отсюда \( a = 50 \cdot \frac{7}{25} = 2 \cdot 7 = 14 \).

Площадь прямоугольника равна \( S = a \cdot b \) = \( 14 \cdot 48 = 672 \).

Ответ: \( 672 \).