5. Диагональ АС ромба ABCD равна 240, а \( \mathrm{tg} \angle BCA = \frac{7}{24} \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей.

\( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{240}{2} = 120 \).

В треугольнике \( BOC \), \( \angle BOC = 90° \).

Нам дано \( \mathrm{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{7}{24} \).

Так как \( OC = 120 \), то \( BO = OC \cdot \mathrm{tg} \angle BCA = 120 \cdot \frac{7}{24} = 5 \cdot 7 = 35 \).

Вторая диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 35 = 70 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 240 \cdot 70 = 120 \cdot 70 = 8400 \).

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр ромба.

Найдем сторону ромба \( BC \) по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \):

\[ BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{35^2 + 120^2} = \sqrt{1225 + 14400} = \sqrt{15625} = 125 \]

Периметр ромба \( P = 4 \cdot BC = 4 \cdot 125 = 500 \).

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{500}{2} = 250 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} = \frac{8400}{250} = \frac{840}{25} = \frac{168}{5} = 33.6 \).

Ответ: \( 33.6 \).