4. Смежные стороны параллелограмма равны 7 см и 2√3 см, а угол между ними равен 30°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a=7\) см и \(b=2\sqrt3\) см, угол между ними \(30^\circ\).

Квадраты диагоналей находятся по формулам \(d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos30^\circ\) и \(d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos30^\circ\).

\(a^2+b^2=49+12=61\), а \(2ab\cos30^\circ=2\cdot7\cdot2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=42\). Значит, диагонали равны \(\sqrt{61+42}=\sqrt{103}\) см и \(\sqrt{61-42}=\sqrt{19}\) см.

Площадь: \(S=ab\sin30^\circ=7\cdot2\sqrt3\cdot\frac12=7\sqrt3\) см².

Ответ: диагонали — \(\sqrt{103}\) см и \(\sqrt{19}\) см; площадь — \(7\sqrt3\) см².