4. Сократите дробь: a) y⁴+y³ / y³-1 ; 6) (a+1)²+(a-1)² / 3a²+3

Решение:

а) Вынесем общий множитель \( y^3 \) в числителе:

\[ \frac{y^4+y^3}{y^3-1} = \frac{y^3(y+1)}{y^3-1} \]

Знаменатель — разность кубов, \( y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1) \). Сократить данную дробь не представляется возможным без дополнительных условий.

б) Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{3a^2+3} = \frac{(a^2+2a+1) + (a^2-2a+1)}{3(a^2+1)} = \frac{2a^2+2}{3(a^2+1)} = \frac{2(a^2+1)}{3(a^2+1)} \]

Сократим на \( a^2+1 \):

\[ \frac{2}{3} \]

Ответ: а) \(\frac{y^3(y+1)}{y^3-1}\); б) \(\frac{2}{3}\).