4. \(\sqrt{2x^2+4x+2}\ge2-x\)

Подкоренное выражение равно \(2(x+1)^2\), поэтому корень определён при всех \(x\). Если \(x\ge2\), правая часть неположительна, а левая неотрицательна: неравенство выполняется.

При \(x<2\) правая часть положительна, поэтому возведём обе части в квадрат: \(2x^2+4x+2\ge(2-x)^2\). После упрощения получаем \(x^2+8x-2\ge0\).

Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(-4-3\sqrt2\) и \(-4+3\sqrt2\). Следовательно, при \(x<2\) подходят значения \(x\le-4-3\sqrt2\) или \(x\ge-4+3\sqrt2\). Добавляя все \(x\ge2\), получаем общий промежуток.

Ответ: \(x\in(-\infty;-4-3\sqrt2]\cup[-4+3\sqrt2;+\\infty)\).