4. \(\sqrt{4x+1}=\sqrt{x^2+3x-1}\).

Оба квадратных корня определены и равны тогда, когда равны подкоренные выражения, причём они неотрицательны.

Приравниваем подкоренные выражения: \(4x+1=x^2+3x-1\), откуда \(x^2-x-2=0\).

Разложим на множители: \((x-2)(x+1)=0\). Получаем кандидаты \(x=2\) и \(x=-1\).

Проверяем область определения: из \(4x+1\ge 0\) следует \(x\ge -\frac14\). Значение \(-1\) не подходит; при \(x=2\) оба подкоренных выражения равны \(9\).

Ответ: \(x=2\).