4. \(\sqrt{4x+3}=\sqrt{x^2+x-1}\);

Обе части — арифметические квадратные корни, поэтому при их равенстве равны подкоренные выражения:

\(4x+3=x^2+x-1\).

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

\(x^2-3x-4=0\),
\((x-4)(x+1)=0\).

Кандидаты: \(x=4\) и \(x=-1\). При \(x=-1\) подкоренное выражение \(4x+3=-1\), поэтому это значение не подходит. При \(x=4\) оба подкоренных выражения равны 19.

Ответ: \(x=4\).