4. Сравнить числа: а) $4^{\sqrt{2}}$ или $4^{1.4}$; б) $\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{2}}$ или $\left(\frac{1}{4}\right)^{1.4}$; в) $0.7^{\frac{1}{5}}$ или $\left(\frac{7}{11}\right)^{\frac{1}{5}}$; г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{2}}$ или $(0.39)^{-\frac{1}{2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Сравнить числа: а) $4^{\sqrt{2}}$ или $4^{1.4}$; б) $\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{2}}$ или…$ Фото задания

Accepted Answer

Сравним показатели и учтём монотонность степенной функции: при основании больше 1 она возрастает, а при основании между 0 и 1 убывает.

Так как $\sqrt{2}\approx1.414>1.4$, то $4^{\sqrt{2}}>4^{1.4}$.
Основание $\frac14$ находится между 0 и 1, поэтому при большем показателе значение меньше: $\left(\frac14\right)^{\sqrt{2}}<\left(\frac14\right)^{1.4}$.
$0.7=\frac{7}{10}>\frac{7}{11}$. Возведение положительных чисел в степень $\frac15$ сохраняет порядок, поэтому $0.7^{\frac15}>\left(\frac{7}{11}\right)^{\frac15}$.
$\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac12}=4$. Поскольку $0<0.39<1$, имеем $(0.39)^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{0.39}}>1$, но это число меньше 4: $0.39>\frac{1}{16}$, а функция $x^{-\frac12}$ убывает при $x>0$. Значит, $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac12}>(0.39)^{-\frac12}$.

Ответ: а) $>$; б) $<$; в) $>$; г) $>$.