5. Упростить выражение: \(\frac{c^{\frac{1}{2}}\left(c^{-\frac{1}{2}}+c^{\frac{3}{2}}\right)}{c^{\frac{1}{3}}\left(c^{\frac{2}{3}}-c^{-\frac{1}{3}}\right)}\).

Упростим числитель и знаменатель, складывая показатели степеней с одинаковым основанием:

Числитель: \(c^{\frac12}c^{-\frac12}+c^{\frac12}c^{\frac32}=1+c^2\).

Знаменатель: \(c^{\frac13}c^{\frac23}-c^{\frac13}c^{-\frac13}=c-1\).

Следовательно, выражение равно \(\frac{c^2+1}{c-1}\). Исходное выражение определено при \(c>0\) и \(c\ne1\).

Ответ: \(\frac{c^2+1}{c-1}\), где \(c>0\), \(c\ne1\).