4. Стальной кубик вкатывают с начальной скоростью v₀ на ледяную прямолинейную горку, наклонённую к горизонту под углом α. Коэффициент трения скольжения кубика о лёд μ. Через какой промежуток времени кубик вернётся к основанию горки? На какую максимальную высоту он поднимется?

Считаем, что кубик движется вверх по наклонной плоскости, затем скользит вниз; коэффициент трения одинаков в обоих направлениях, а \(\cos\alpha>\mu\), чтобы кубик мог вернуться к основанию. Обозначим \(g\) ускорение свободного падения.

1. При движении вверх ускорение вниз вдоль горки имеет величину \(a_{\uparrow}=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\). Время подъёма до остановки: \(t_{\uparrow}=v_0/a_{\uparrow}\).
2. Путь вверх вдоль горки: \(s_{\max}=v_0^2/(2a_{\uparrow})\). Максимальная вертикальная высота равна \(h_{\max}=s_{\max}\sin\alpha\).
3. При скольжении вниз ускорение вдоль горки равно \(a_{\downarrow}=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\). Из состояния покоя на расстоянии \(s_{\max}\) время спуска: \(t_{\downarrow}=\sqrt{2s_{\max}/a_{\downarrow}}=v_0/\sqrt{a_{\uparrow}a_{\downarrow}}\).
4. Полное время: \(t=t_{\uparrow}+t_{\downarrow}\).

Ответ: \(t=\dfrac{v_0}{g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}+\dfrac{v_0}{g\sqrt{(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}}\); \(h_{\max}=\dfrac{v_0^2\sin\alpha}{2g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}\).