№ 4. Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Задача № 4

Дано: Правильный четырехугольник (квадрат) описан около окружности, сторона квадрата \( a_{кв} = 8 \)

Найти: Площадь правильного треугольника \( S_{\triangle} \), вписанного в ту же окружность.

Решение:

1. Если квадрат описан около окружности, то его сторона равна диаметру вписанной окружности. \( d = a_{кв} = 8 \)
2. Радиус вписанной окружности равен половине диаметра: \( r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
3. Эта окружность является описанной для правильного треугольника. Радиус описанной окружности для правильного треугольника \( R \) связан со стороной треугольника \( a_{\triangle} \) соотношением: \( R = \frac{a_{\triangle}}{\sqrt{3}} \).
4. В нашем случае \( R = r = 4 \), так как треугольник вписан в ту же окружность.
5. Находим сторону треугольника: \( a_{\triangle} = R \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
6. Площадь правильного треугольника находится по формуле: \( S_{\triangle} = \frac{a_{\triangle}^2 \sqrt{3}}{4} \)
7. Вычисляем площадь: \( S_{\triangle} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \times 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \)

Ответ: Площадь правильного треугольника равна 12\(\sqrt{3}\).