Построй рисунок к задаче, запиши дано, обоснованное решение и ответ.

Задача № 5

Дано: Правильный восьмиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу восьмиугольника, равна \( 3\pi \)

Найти: Площадь восьмиугольника \( S_{восьмиуг.} \)

Решение:

1. Правильный восьмиугольник вписан в окружность. Центральный угол, соответствующий одной стороне восьмиугольника, равен \( \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ} \).
2. Площадь кругового сектора с центральным углом \( \alpha \) и радиусом \( R \) вычисляется как \( S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \).
3. Нам дано, что площадь сектора равна \( 3\pi \), а угол \( \alpha = 45^{\circ} \).
4. Подставляем значения: \( 3\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 45^{\circ}}{360^{\circ}} \)
5. Упрощаем: \( 3\pi = \frac{\pi R^2}{8} \)
6. Находим радиус окружности: \( R^2 = \frac{3\pi \cdot 8}{\pi} = 24 \)
7. Площадь правильного восьмиугольника, вписанного в окружность с радиусом \( R \), вычисляется по формуле: \( S_{восьмиуг.} = 2 R^2 \sqrt{2} \)
8. Подставляем значение \( R^2 = 24 \): \( S_{восьмиуг.} = 2 \cdot 24 \sqrt{2} = 48\sqrt{2} \)

Ответ: Площадь восьмиугольника равна 48\(\sqrt{2}\).