4. Сумма двух сторон треугольника равна 26 см, третья сторона — 16 см, а медиана, проведенная к ней, — 11 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть неизвестные стороны равны \(a\) и \(b\), тогда \(a+b=26\). По теореме Аполлония для медианы к стороне 16 см:

\(a^2+b^2=2\left(11^2+\left(\frac{16}{2}\right)^2\right)=370\).

Используем равенство \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\):

\(676=370+2ab\), откуда \(ab=153\).

Стороны — корни уравнения \(x^2-26x+153=0\). Его корни: \(x=7\) и \(x=19\). Проверка неравенства треугольника: \(7+16>19\).

Ответ: 7 см и 19 см.