5. В треугольнике одна из сторон равна 14 см, а вторая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки 6 см и 7 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Не указано, к какому концу стороны длиной 14 см примыкает сторона, разделённая на отрезки 6 см и 7 см. Поэтому возможны два случая. Касательные, проведённые к окружности из одной вершины, равны.

1-й случай. На стороне длиной 14 см один из касательных отрезков равен 6 см, другой — \(14-6=8\) см. Три длины касательных от вершин тогда равны 6, 7 и 8 см. Полупериметр равен \(s=6+7+8=21\) см. Площадь треугольника равна \(\sqrt{s\cdot6\cdot7\cdot8}=84\text{ см}^2\), поэтому \(r=84/21=4\) см.

2-й случай. На стороне длиной 14 см касательные отрезки равны 7 см и 7 см. Длины касательных от вершин тогда равны 7, 7 и 6 см. Полупериметр \(s=20\) см, площадь \(\sqrt{20\cdot7\cdot7\cdot6}=14\sqrt{30}\text{ см}^2\). Поэтому \(r=\frac{14\sqrt{30}}{20}=\frac{7\sqrt{30}}{10}\) см.

Ответ: возможны радиусы 4 см или \(\frac{7\sqrt{30}}{10}\) см; без уточнения расположения отрезков единственного ответа нет.