№ 6. В трапеции ABCD \(\angle A=60^\circ\), \(\angle D=45^\circ\), меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Считаем, что основания AB и CD параллельны, а меньшая боковая сторона — AD = 10 см (как обычно следует из обозначений углов A и D в условии). Опустим высоты из концов большего основания. Высота трапеции равна \(h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см. Горизонтальная проекция боковой стороны AD равна \(10\cos60^\circ=5\) см, а проекция второй боковой стороны при угле 45° равна \(h\cot45^\circ=5\sqrt3\) см. Поэтому разность оснований равна \(5+5\sqrt3\) см.

Средняя линия равна полусумме оснований. При меньшем основании 8 см получаем \(m=\dfrac{8+(8+5+5\sqrt3)}2=\dfrac{21+5\sqrt3}{2}\) см.

Ответ: \(\dfrac{21+5\sqrt3}{2}\) см, приблизительно 14,83 см.