№ 5. Четырёхугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы \(\vec m=\overrightarrow{KM}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KP}\) векторы \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{AB}\), где A — точка на стороне PN, такая что PA:AN = 2:1, B — середина отрезка MN.

Положим K в начало отсчёта. Тогда радиус-векторы точек M, P и N равны соответственно \(\vec m\), \(\vec n\) и \(\vec m+\vec n\).

Точка A делит PN в отношении PA:AN = 2:1, поэтому \(\overrightarrow{KA}=\vec n+ frac23\vec m\).

Тогда \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n+ frac23\vec m-\vec m=\vec n- frac13\vec m\).

B — середина MN, поэтому \(\overrightarrow{KB}= frac12(\vec m+\vec m+\vec n)=\vec m+ frac12\vec n\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\vec m+ frac12\vec n-\vec n- frac23\vec m= frac13\vec m- frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n- frac13\vec m\); \(\overrightarrow{AB}= frac13\vec m- frac12\vec n\).