4. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A (2; 2); B (6; 5); C (5; -2). а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины A.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Доказательство.

Вычислим квадраты длин сторон:

\[AB^2=(6-2)^2+(5-2)^2=4^2+3^2=25,\]

\[AC^2=(5-2)^2+(-2-2)^2=3^2+(-4)^2=25.\]

Значит, \(AB=AC=5\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\).

б) Биссектриса из вершины A.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой. Найдём середину отрезка \(BC\):

\[M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac32\right).\]

Уравнение прямой через точки \(A(2;2)\) и \(M\left(\frac{11}{2};\frac32\right)\):

\[k=\frac{\frac32-2}{\frac{11}{2}-2}=\frac{-\frac12}{\frac72}=-\frac17.\]

\[y-2=-\frac17(x-2).\]

После преобразования:

\[x+7y-16=0.\]

Ответ: \(AB=AC=5\); биссектриса из вершины A: \(x+7y-16=0\).