4. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A (−6; 1), B (2; 4), C (2; −2). а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) Найдите высоту, проведённую из вершины A.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Доказательство.

Найдём квадраты длин сторон:

\(AB^2=(2+6)^2+(4-1)^2=8^2+3^2=73\).

\(AC^2=(2+6)^2+(-2-1)^2=8^2+(-3)^2=73\).

Так как \(AB^2=AC^2\), то \(AB=AC\). Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.

б) Нахождение высоты.

Точки \(B(2;4)\) и \(C(2;-2)\) имеют одинаковую абсциссу, поэтому прямая \(BC\) вертикальна и её уравнение: \(x=2\).

Высота из точки \(A(-6;1)\), перпендикулярная вертикальной прямой, горизонтальна: \(y=1\). Она пересекает \(BC\) в точке \(H(2;1)\).

Длина высоты:

\(AH=2-(-6)=8\).

Ответ: \(AB=AC\), высота \(AH=8\).