4. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен 60°. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 14 см.

Решение:

Пусть \( a = 14 \) см и \( b = 8 \) см — стороны параллелограмма. Проведём высоты \( h_a \) и \( h_b \) из вершины тупого угла. Угол между этими высотами равен \( 60^\circ \).

Рассмотрим четырёхугольник, образованный вершиной тупого угла, точками пересечения высот с противоположными сторонами и вершиной противоположного острого угла. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \). В этом четырёхугольнике два прямых угла (в точках пересечения высот).

Следовательно, угол между высотами равен углу параллелограмма, прилежащему к той вершине, из которой проведены высоты, либо смежному с ним.

В нашем случае, угол между высотами равен \( 60^\circ \). Этот угол равен острому углу параллелограмма. Если бы он был равен тупому углу, то сумма углов была бы \( 60 + 90 + 90 \) = \( 240^\circ \), что не даёт \( 360^\circ \) для четвёртого угла. Значит, \( 60^\circ \) — это острый угол параллелограмма. Тогда тупой угол равен \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Площадь параллелограмма можно найти как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними:

\( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)

где \( \alpha \) — острый угол параллелограмма, равный \( 60^\circ \).

\( S = 14 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) \)

\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S = 14 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 56\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 56\sqrt{3} \) см².