6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^\circ \). Пусть CD — биссектриса острого угла \( \angle C \) (это условие некорректно, биссектриса проводится из вершины угла, а не делит катет. Предположим, что биссектриса угла A делит катет BC).

Пусть \( AC = b \) (катет), \( BC = a \) (катет), \( AB = c \) (гипотенуза).

Пусть биссектриса из вершины \( A \) делит катет \( BC \) в точке D. Тогда \( BD = 10 \) см и \( DC = 6 \) см (или наоборот).

По теореме о биссектрисе угла треугольника, отношение отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно отношению прилежащих сторон:

\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)

\( \frac{10}{6} = \frac{c}{b} \) или \( \frac{6}{10} = \frac{c}{b} \).

Пусть \( BD = 10 \) и \( DC = 6 \). Тогда \( BC = BD + DC = 10 + 6 = 16 \) см.

\( \frac{10}{6} = \frac{c}{b} \) => \( c = \frac{10}{6} b = \frac{5}{3} b \).

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( 16^2 + b^2 = (\frac{5}{3} b)^2 \)

\( 256 + b^2 = \frac{25}{9} b^2 \)

\( 256 = \frac{25}{9} b^2 - b^2 \)

\( 256 = \frac{25-9}{9} b^2 \)

\( 256 = \frac{16}{9} b^2 \)

\( b^2 = 256 · \frac{9}{16} \)

\( b^2 = 16 · 9 = 144 \)

\( b = \sqrt{144} = 12 \) см.

Теперь найдём площадь треугольника:

\( S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} · 16 \cdot 12 = 8 · 12 = 96 \) см².

Если бы \( BD = 6 \) и \( DC = 10 \), то \( BC = 16 \) см. \( \frac{6}{10} = \frac{c}{b} \) => \( c = \frac{3}{5} b \). Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета, поэтому \( c > b \). \( \frac{3}{5} b < b \) — это невозможно. Значит, отрезки отложены от вершины, прилежащей к большей стороне (гипотенузе).

Ответ: 96 см².