5. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей — 20 см.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

Также, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому, сторона ромба \( a \) связана с диагоналями соотношением:

\( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \)

\( \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2 \)

\( d_1^2 + d_2^2 = 4a^2 \)

Дано:

• \( a = 50 \) см
• \( d_1 - d_2 = 20 \) см (или \( d_2 - d_1 = 20 \), неважно, так как потом возводим в квадрат)

Выразим одну диагональ через другую: \( d_1 = d_2 + 20 \).

Подставим в уравнение:

\( (d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 4 · 50^2 \)

\( d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 4 · 2500 \)

\( 2d_2^2 + 40d_2 + 400 = 10000 \)

\( 2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0 \)

Разделим на 2:

\( d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( d_2 \):

\( D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 · 1 \u00B7 (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140 \)

\( d_2 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) см.

Тогда \( d_1 = d_2 + 20 = 60 + 20 = 80 \) см.

Теперь найдём площадь:

\( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} · 80 · 60 = 40 · 60 = 2400 \) см².

Ответ: 2400 см².