4. Угол параллелограмма равен 150°, а стороны — 11 см и 3√3 см. Найдите площадь параллелограмма и его меньшую диагональ.

Обозначим стороны через \(a=11\) см и \(b=3\sqrt3\) см. Площадь:

\(S=ab\sin150^\circ=11\cdot3\sqrt3\cdot\frac12=\frac{33\sqrt3}{2}\) см².

Для диагоналей квадраты равны \(a^2+b^2\pm2ab\cos150^\circ\). Так как \(\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\), меньшая диагональ соответствует знаку «плюс» перед \(2ab\cos150^\circ\), то есть вычитанию положительной величины:

\(d_{\text{меньш}}^2=121+27-2\cdot11\cdot3\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=148-99=49\). Следовательно, \(d_{\text{меньш}}=7\) см.

Ответ: площадь \(\frac{33\sqrt3}{2}\) см², меньшая диагональ 7 см.